Санау жүйесі: санды екілік, сегіздік, он алтылық жүйеге аудару

Санау жүйесі дегеніміз — сандарды белгілі бір таңбалар, яғни цифрлар арқылы атау мен жазудың тәсілі. Позициялық санау жүйесінің негізгі сипаттамасы — оның негізі, демек онда қанша цифр қолданылатыны: ондық жүйеде 10 цифр бар, екілікте 2, сегіздікте 8, он алтылықта 16. Бұл мақалада теріс емес бүтін сандарды екілік, сегіздік, ондық және он алтылық жүйелер арасында аудару қарастырылады. Ол үшін екі негізгі тәсіл жеткілікті: ондықтан басқа жүйеге — негізге қалдықпен бөлу, басқа жүйеден ондыққа — негіздің дәрежелері арқылы қосу. Тақырыптың қысқаша конспектісі керек болса, сайттағы санау жүйесі туралы слайдты қараңыз.

Қай жүйеден қай жүйеге	Тәсіл
Ондық → екілік, сегіздік, он алтылық	Негізге (2, 8, 16) қалдықпен бөлу, қалдықтарды кері ретпен жазу
Екілік, сегіздік, он алтылық → ондық	Цифрларды негіздің дәрежелеріне көбейтіп, қосу
Екілік ↔ сегіздік	Үш разрядтан топтау (триада)
Екілік ↔ он алтылық	Төрт разрядтан топтау (тетрада)
Сегіздік ↔ он алтылық	Алдымен екілік жүйеге, содан кейін керек жүйеге

Позициялық және бейпозициялық санау жүйелері

Санау жүйелері екі топқа бөлінеді: позициялық және бейпозициялық (оқу материалдарында «позициялық емес» деп те жазылады). Бейпозициялық жүйеде цифрдың мәні оның санның қай жерінде тұрғанына байланысты емес. Ең таныс мысалы — рим цифрлары: XXX санында әр X тек 10-ды білдіреді, барлығы 30 шығады. Рим жүйесінде таңбалардың реті де ескеріледі: IX жазуында I таңбасы X-тың алдында тұр, сондықтан 10-нан 1 алынып, 9 шығады, ал XI жазуында 1 қосылып, 11 шығады. Бірақ X таңбасының өзі қай жерде тұрса да 10 болып қала береді. Сондықтан мұндай жүйеде үлкен сандармен есептеу ыңғайсыз.

Позициялық жүйеде цифрдың сан мәніне қосатын үлесі оның тұрған орнына байланысты. 555 санындағы үш бестің біріншісі — бес жүз, екіншісі — елу, үшіншісі — бес бірлік. Цифр орналасқан орын разряд деп аталады: бірліктер разряды, ондықтар разряды, жүздіктер разряды және т.с.с. Біз күнделікті қолданатын ондық жүйе де, компьютер қолданатын екілік жүйе де — позициялық жүйелер.

Санау жүйесінің негізі және санды дәрежелер қосындысы түрінде жазу

Позициялық санау жүйесінің негізі — ондағы цифрлардың саны, ол 2-ден кем болмайды. Негізі 2 жүйеде тек 0 мен 1 бар, негізі 8 жүйеде — 0-ден 7-ге дейінгі цифрлар. Негізі 16 жүйеде 0-ден 9-ға дейінгі цифрлардан бөлек, 10-нан 15-ке дейінгі мәндерді білдіретін A, B, C, D, E, F әріптері қолданылады. Бір жайды есте ұстаңыз: негізге тең цифр жүйенің өзінде болмайды. Екілік санда «2», сегіздік санда «8» цифры кездеспейді. Нөл кез келген жүйеде 0 болып жазылады.

Санның қай жүйеде жазылғанын көрсету үшін оның төменгі оң жағына индекс қойылады: 101101₂, 55₈, 2D₁₆. Индекссіз «101» жазуы екіұшты: ол ондық жүйедегі жүз бір де, екілік жүйедегі бес те болуы мүмкін. Кез келген позициялық санды цифрлардың негіздің тиісті дәрежелеріне көбейтінділерінің қосындысы түрінде жазуға болады. Мысалы, 234 = 2·10² + 3·10¹ + 4·10⁰. Ең оң жақтағы разрядтың дәрежесі 0, солға қарай жылжыған сайын дәреже бірге артады. Дәл осы жазу басқа жүйелерден ондыққа аударудың кілті болады.

Компьютер неге екілік жүйені қолданады

Екілік жүйеде кез келген сан екі цифрмен — 0 және 1 арқылы жазылады, ал екілік санның әр разрядын бит деп атайды. Екілік мәндерді екі ажыратылатын физикалық күймен көрсетуге болады, мысалы, кернеудің төмен және жоғары деңгейлерімен. Сондықтан компьютердің ішінде барлық ақпарат екілік түрде сақталады және өңделеді.

Екілік жазудың кемшілігі де бар: сан ұзын шығады. Ондық 156 саны екілік жүйеде сегіз разрядты 10011100₂ болып жазылады, мұндай тізбекті адамға оқу да, көшіру де қиын. Осы себепті екілік жазуды қысқарту үшін сегіздік және он алтылық жүйелер қолданылады. Олардың екілік жүйемен байланысы төменде көрсетілген.

Ондық саннан екілік, сегіздік, он алтылық жүйеге аудару

Бүтін ондық санды негізі q жүйеге аудару ережесі мынадай. Санды q-ға қалдықпен бөлесіз, шыққан бөліндіні қайтадан q-ға бөлесіз және бөлінді нөлге тең болғанша жалғастырасыз. Содан кейін қалдықтарды соңғы қалдықтан бастап кері ретпен, яғни төменнен жоғары оқисыз. Екілікке аударғанда 2-ге, сегіздікке 8-ге, он алтылыққа 16-ға бөлінеді.

1-мысал: 45 санын екілік жүйеге аудару

Бөлу	Бөлінді	Қалдық
45 : 2	22	1
22 : 2	11	0
11 : 2	5	1
5 : 2	2	1
2 : 2	1	0
1 : 2	0	1

Қалдықтарды төменнен жоғары оқимыз: 1, 0, 1, 1, 0, 1. Демек 45₁₀ = 101101₂. Жауапты бірден тексеруге болады: 32 + 8 + 4 + 1 = 45.

2-мысал: 200 санын сегіздікке, 419 санын он алтылыққа аудару

200 : 8 = 25, қалдық 0; 25 : 8 = 3, қалдық 1; 3 : 8 = 0, қалдық 3. Төменнен жоғары оқысақ, 200₁₀ = 310₈. Он алтылыққа аударғанда бір ерекшелік бар: 9-дан үлкен қалдық әріппен жазылады. 419 : 16 = 26, қалдық 3; 26 : 16 = 1, қалдық 10, яғни A; 1 : 16 = 0, қалдық 1. Нәтиже: 419₁₀ = 1A3₁₆. Егер 10 қалдығын «10» деп екі цифрмен жазып қойсаңыз, жауап мүлде басқа санға айналады.

Екілік, сегіздік, он алтылық саннан ондық жүйеге аудару

Кері бағытта бөлу емес, көбейту мен қосу керек. Санның әр цифрын негіздің тиісті дәрежесіне көбейтесіз де, нәтижелерді қосасыз. Дәрежелер оң жақтан солға қарай 0, 1, 2, 3 болып саналады. Екілік жүйе үшін екінің дәрежелерін жатқа білген пайдалы: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 — бұл 2⁰-ден 2⁸-ге дейінгі мәндер.

3-мысал: үш жүйеден ондыққа

• 101101₂ = 1·2⁵ + 0·2⁴ + 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 32 + 8 + 4 + 1 = 45₁₀;
• 357₈ = 3·8² + 5·8¹ + 7·8⁰ = 192 + 40 + 7 = 239₁₀;
• 2F₁₆ = 2·16¹ + 15·16⁰ = 32 + 15 = 47₁₀.

Он алтылық санды аударғанда әріпті алдымен ондық мәнге ауыстырыңыз: A — 10, F — 15. Нөлге тең разрядтарды қосындыға жазбай кетуге болады, бірақ дәрежені санағанда оларды өткізіп жібермеңіз. 101101₂ санында алты разряд бар, сондықтан ең сол жақтағы 1 цифры 2⁵ разрядына сәйкес келеді.

Екілік пен сегіздік, екілік пен он алтылық арасында жылдам аудару

8 = 2³ және 16 = 2⁴ болғандықтан, бұл жүйелер арасында ондық жүйеге аралық аудару қажет емес. Бір сегіздік цифр дәл үш екілік разрядқа, бір он алтылық цифр дәл төрт екілік разрядқа сәйкес келеді. Үш разрядтан тұратын топты триада, төрт разрядтан тұратын топты тетрада деп атайды.

Екілік санды сегіздікке аудару үшін оны оң жақтан бастап үш разрядтан топтайсыз. Ең сол жақтағы топ толмаса, алдына нөл қосасыз: санның басындағы нөлдер оның мәнін өзгертпейді. Содан кейін әр топты бір сегіздік цифрмен ауыстырасыз. Он алтылыққа аудару дәл солай орындалады, тек топтар төрт разрядтан тұрады. Кері аудару үшін әр сегіздік цифрды үш екілік разрядпен, әр он алтылық цифрды төрт екілік разрядпен жазасыз да, санның басындағы артық нөлдерді алып тастайсыз.

4-мысал: триадалар мен тетрадалар

• 110101110₂ → 110 | 101 | 110 → 6 | 5 | 6 → 656₈;
• 1101011110₂ → 0011 | 0101 | 1110 → 3 | 5 | E → 35E₁₆;
• 754₈ → 111 | 101 | 100 → 111101100₂;
• 2D₁₆ → 0010 | 1101 → 101101₂ (басындағы екі нөл алынды);
• 656₈ → 110 | 101 | 110 → 110101110₂ → 0001 | 1010 | 1110 → 1AE₁₆.

Нәтижені ондық жүйе арқылы тексеруге болады: 110101110₂ де, 656₈ де ондық 430-ға тең, ал 1101011110₂ мен 35E₁₆ — 862-ге. Соңғы мысалда сегіздік саннан он алтылыққа ондық жүйесіз өттік: 656₈ = 1AE₁₆ = 430₁₀.

Сәйкестік кестесі: 0-ден 15-ке дейін

Кестені пайдаланып, триадалар мен тетрадаларды жылдам табуға болады. Сегіздік цифрларға сәйкестікті табу үшін кестенің 0–7 жолдарын және екілік жазудың соңғы үш разрядын пайдаланыңыз. Он алтылық цифрлар үшін 0–15 жолдарындағы төрт разрядты қолданыңыз.

Ондық	Екілік	Сегіздік	Он алтылық
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Жиі кездесетін қателер

• Қалдықтарды жоғарыдан төмен оқу. 25 санын екілікке аударғанда қалдықтар 1, 0, 0, 1, 1 ретімен шығады. Дұрыс жауап — 11001₂, ал жоғарыдан оқылған 10011₂ мүлде басқа сан, ол 19-ға тең.
• Топтауды сол жақтан бастау. 11010₂ санын оң жақтан топтасақ, 011 | 010 → 32₈ шығады, бұл ондық 26. Сол жақтан топтасақ, 110 | 10 → 62₈ болып, ондық 50 шығады, яғни жауап қате.
• Он алтылық цифрды екі таңбамен жазу: 1A3₁₆ орнына «1103» деп жазу.
• Жүйеде жоқ цифрды қолдану: сегіздік санда 8 мен 9, екілік санда 2 болмайды. Жауапта осындай цифр шықса, есептеуде қате кеткен.
• Индексті жазбау. Индекссіз «10» жазуы ондық он да, екілік екі де, он алтылық он алты да болуы мүмкін.

Өзіңізді тексеріңіз

Төмендегі тапсырмаларды алдымен өзіңіз орындап көріңіз, содан кейін жауаптармен салыстырыңыз. Әр жауапты кері аудару арқылы да тексеруге болады.

1. 25₁₀ санын екілік жүйеге аударыңыз.
2. 100₁₀ санын сегіздік жүйеге аударыңыз.
3. 200₁₀ санын он алтылық жүйеге аударыңыз.
4. 11111111₂ санын ондық жүйеге аударыңыз.
5. 7F₁₆ санын ондық жүйеге аударыңыз.
6. 754₈ санын екілік жүйеге аударыңыз.
7. 10111010₂ санын он алтылық жүйеге аударыңыз.
8. 3B₁₆ санын екілік жүйеге аударыңыз.

Жауаптары: 1) 11001₂; 2) 144₈; 3) C8₁₆; 4) 255₁₀; 5) 127₁₀; 6) 111101100₂; 7) BA₁₆; 8) 111011₂.

Мектеп бағдарламасындағы орны

Қазақстан Республикасы Оқу-ағарту министрінің 2022 жылғы 16 қыркүйектегі № 399 бұйрығымен бекітілген үлгілік оқу бағдарламаларында (2025 жылғы 15 сәуірдегі өзгерістерімен) «ондық жүйедегі бүтін сандарды екілік, сегіздік, он алтылық санау жүйесіне аудару және кері аудару» жаратылыстану-математикалық бағыттағы 10-сыныптың информатикасында, «Деректерді ұсыну» бөлімінде көрсетілген. Ал компьютерге арналған барлық ақпараттың екілік түрде ұсынылатынын түсіндіруді оқушылар 5-сыныптың информатикасында үйренеді.

Қатысты материалдар: процессор, жад сияқты бөліктер туралы — компьютердің құрылғылары туралы слайд, есептеу құралдарының қалай өзгергені туралы — есептеуіш техниканың даму тарихы.